Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(\frac{4n+5}{5n+4}\)có thể rút gọn được :
=> 4n + 5 chia hết cho 5n + 4
=> 5( 4n + 5 ) chia hết cho 5n + 4
=> 20n + 25 chia hết cho 5n + 4 ( 1 )
Mặt khác, ta có :
5n + 4 chia hết cho 5n + 4 ( với mọi n thuộc Z, 5n + 4 khác 0 )
=> 4( 5n + 4 ) chia hết cho 5n + 4
=> 20n + 16 chia hết cho 5n + 4 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) , ta có :
( 20n + 25 ) - ( 20n + 16 ) chia hết cho 5n + 4
=> 20n + 25 - 20n - 16 chia hết cho 5n + 4
=> ( 20n - 20n ) + ( 25 - 16 ) chia hết cho 5n + 4
=> 0 + 9 chia hết cho 5n + 4
=> 9 chia hết cho 5n + 4
=> 5n + 4 thuộc ước của 9 = { 1; 3; 9; -1; -3; -9 }
Ta có bảng :
5n + 4 1 3 9 -1 -3 -9
5n -3 -1 5 -5 -7 -13
n L L 1 -1 L L
\(\frac{4n+5}{5n+4}\) 1 -1
Vậy n thuộc { 1 ; -1 }