CH

Tìm n thuộc N để 2n + 5 là số chính phương 

LP
14 tháng 9 2017 lúc 20:42

Cao Chi Hieu 

Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1, số chính phương chia 4 dư 1 là số chính phương lẻ. 
Do 2 là số chẵn => 2^n là số chắn
=> 2^n + 5 là số lẻ. 
Đặt 2^n + 5 = a² (a là số tự nhiên) => a là số lẻ ( a² chắc chắn > 2^n) 
=> a² chia 4 dư 1 => 3^n + 4 chia 4 dư 1. 
+ Với n lẻ => 2^n + 5 
= 3^n + 1 + 3 
= 3^n + 1^n + 3 
= (3 + 1)( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) + 3 
= 4( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) + 3 
= Do 4 chia hết cho 4 
=> 4( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) chia hết cho 4 
=> 4( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) + 3 chia 4 dư 3 
=> 3^n + 4 chia 4 dư 3 
a² chia 4 dư 3 nhưng số chính phương chia cho 4 không dư 3 
=> không tồn tại số tự nhiên n lẻ để 3^n + 4 là số chính phương (*) 

+ Với n chẵn => n = 2k (k là số tự nhiên) 
=> 3^n + 4 = a² 
<=> 3^(2k) + 4 = a² 
<=> (3^k)² + 4 = a² 
<=> a² - (3^k)² = 4 
<=> (a + 3^k)(a - 3^k) = 4 
=> a + 3^k và a - 3^k là các ước tự nhiên của 4 
Ta có ước tự nhiên của 4 là các số: 1;2;4 Kết hợp với điều kiện a + 3^k > a - 3^k => ta có: 
a + 3^k = 4 (1) và a - 3^k = 1 (2) 
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: (a + 3^k) + (a - 3^k) = 4 + 1 
<=> a + 3^k + a - 3^k = 5 
<=> 2a = 5 
=> a = 2,5 loại vì không thỏa mãn điều kiện a là số tự nhiên 
=> Không có giá trị n chẵn nào làm 3^n + 4 là số chính phương (*)(*) 

Từ (*) và (*)(*) => Không có giá trị nào của n để 3^n + 4 là số chính phương. 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
TT
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
LT
Xem chi tiết
NA
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
TT
Xem chi tiết
VT
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
HN
Xem chi tiết