Câu hỏi của Bùi Tùng Dương

Question

Tìm Min và Max của $A=\frac{1+x}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}$( với x lớn hơn hoặc = 0 )

Quang Trung · Accepted Answer

- Đặt $u=\sqrt{x}$. Khi đó :+) $u\ge0$+) $A=\frac{1+u^2}{\left(1+u\right)^2}$Ta có : $2\left(1+u^2\right)\ge\left(1+u\right)^2\Leftrightarrow2+2u^2\ge1+u^2+2u\Leftrightarrow1-2u+u^2\ge0$$\Leftrightarrow\left(1-u\right)^2\ge0$( luôn đúng )$\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}$Khi u = 1 thì $A=\frac{1}{2}$. Vậy min $A=\frac{1}{2}$- Đặt v = 1+ u . Khi đó :+) v > 1+) $A=\frac{1+\left(v-1\right)^2}{v^2}=\frac{v^2-2u+2}{v^2}=1-\frac{2}{v}+\frac{2}{v^2}$         $=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)^2-\left(\frac{1}{v}\right)\right]+1=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)-\frac{1}{2}\right]^2+\frac{1}{2}$- Vì $v\ge1$$\frac{1}{v}\le1\Rightarrow-\frac{1}{2}\le\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$$\Rightarrow a\le\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\le2\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|^2+\frac{1}{2}\le1\Rightarrow\frac{1}{2}\le A\le1$Ta thấy :+) khi v = 2 ( tức là khi x = 1 ) thì $A=\frac{1}{2}$+) khi v = 1 ( tức là khi x = 0 ) thì A  = 1Vậy maxA = 1 và min$A=\frac{1}{2}$Câu trả lời: - Đặt $u=\sqrt{x}$. Khi đó :+) $u\ge0$+) $A=\frac{1+u^2}{\left(1+u\right)^2}$Ta có : $2\left(1+u^2\right)\ge\left(1+u\right)^2\Leftrightarrow2+2u^2\ge1+u^2+2u\Leftrightarrow1-2u+u^2\ge0$$\Leftrightarrow\left(1-u\right)^2\ge0$( luôn đúng )$\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}$Khi u = 1 thì $A=\frac{1}{2}$. Vậy min $A=\frac{1}{2}$- Đặt v = 1+ u . Khi đó :+) v > 1+) $A=\frac{1+\left(v-1\right)^2}{v^2}=\frac{v^2-2u+2}{v^2}=1-\frac{2}{v}+\frac{2}{v^2}$         $=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)^2-\left(\frac{1}{v}\right)\right]+1=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)-\frac{1}{2}\right]^2+\frac{1}{2}$- Vì $v\ge1$$\frac{1}{v}\le1\Rightarrow-\frac{1}{2}\le\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$$\Rightarrow a\le\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\le2\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|^2+\frac{1}{2}\le1\Rightarrow\frac{1}{2}\le A\le1$Ta thấy :+) khi v = 2 ( tức là khi x = 1 ) thì $A=\frac{1}{2}$+) khi v = 1 ( tức là khi x = 0 ) thì A  = 1Vậy maxA = 1 và min$A=\frac{1}{2}$

Xyz OLM · Answer

$A=\frac{x+1}{x+1+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\le1$Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 => Max A = 1 <=> x = 0 Câu trả lời: $A=\frac{x+1}{x+1+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\le1$Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 => Max A = 1 <=> x = 0

tran vinh · Answer

A=$\frac{1+x}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}=\frac{1+x}{1+x+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{1+x+2\sqrt{x}}$vì $\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow2\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x+1+2\sqrt{x}}\ge0$$\Leftrightarrow1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1+2\sqrt{x}}\le1$vậy A đạt max khi và chỉ khi x=0Câu trả lời: A=$\frac{1+x}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}=\frac{1+x}{1+x+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{1+x+2\sqrt{x}}$vì $\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow2\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x+1+2\sqrt{x}}\ge0$$\Leftrightarrow1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1+2\sqrt{x}}\le1$vậy A đạt max khi và chỉ khi x=0

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)