Đặt \(\sqrt{x+1}=a;\sqrt{3-x}=b\) (a ;b \(\ge\) 0)
=> a2 + b2 = 4 (1)
PT <=> a + b = m (2)
Để PT đã cho có nghiệm duy nhất <=> hệ pt (1)(2) có duy nhất 1 nghiệm (a; b) và a; b \(\ge\) 0
(-) a; b \(\ge\) 0 <=> a+ b \(\ge\) 0 và a.b \(\ge\) 0 <=> m \(\ge\) 0 và ab = \(\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2}=\frac{m^2-4}{2}\) \(\ge\) 0
<=> m \(\ge\) 0 và m2 - 4 \(\ge\) 0 (**)
(-) Từ (2) => b = m - a . Thay vào (1) ta được : a2 + (m - a)2 = 4 <=> 2a2 - 2am + m2 - 4 = 0 (*)
Để hệ có 1 nghiệm (a; b) với a; b \(\ge\) 0 <=> (*) có duy nhất 1 nghiệm \(\ge\) 0 hoặc (*) có 2 nghiệm trái dấu
+) (*) có nghiệm duy nhất <=> \(\Delta\)' = 0 <=> m2 - 2(m2 - 4) = 0 <=> m2 = 8 <=> m = \(2\sqrt{2}\) hoặc m = - \(2\sqrt{2}\)
khi đó, (*) có nghiệm là a = m => m \(\ge\) 0
Vậy m = \(2\sqrt{2}\) thỏa mãn (**)
+) (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu <=> (m2 - 4)/2 < 0 <=> m2 - 4 < 0
Đối chiếu với điềm kiện (**) => m = \(\phi\)
Vậy Với m = \(2\sqrt{2}\) thì PT đã chp có nghiệm duy nhất