\(f'\left(x\right)=6\left[x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)=0\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(m-3\right)^2>0\)
\(\Leftrightarrow m\ne3\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) ta có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tai \(x_1,x_2\)
Ta có : \(g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)=0\) nên suy ra :
\(y_1=f\left(x_1\right)=-\left(m-3\right)^2x_1-\left(m^2-3m+3\right)\)
\(y_1=f\left(x_2\right)=-\left(m-3\right)^2x_2-\left(m^2-3m+3\right)\)
=> Đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu là \(\left(\Delta\right)\) : \(y=-\left(m-3\right)^2x-\left(m^2-3m+3\right)\)
Ta có \(\left(\Delta\right)\) song song với đường thẳng \(y=ax+b\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3\\-\left(m-3\right)^2=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3;a<0\\\left(m-3\right)^2=-a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a<0\\m=\pm\sqrt{a}\end{cases}\)
Vậy : Nếu a<0 thì \(m=3\pm\sqrt{-a}\)
Nếu \(a\ge0\) thì không tồn tại m thỏa mãn