Question

Tìm m để bất phương trình (x²+1)² + m ≤ \(x\sqrt{x^2+2}+4\) có nghiệm đúng với mọi x ∈ [0;1]

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2-x\sqrt{x^2+2}-4\le-m\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^2-x\sqrt{x^2+2}-3\le-m\)

Đặt \(x\sqrt{x^2+2}=t\Rightarrow t^2=x^4+2x^2\)

\(0\le x\le1\Rightarrow0\le t\le\sqrt{3}\)

BPT trở thành: \(t^2-t-3\le-m\) ; \(\forall t\in\left[0;\sqrt{3}\right]\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2-t-3\) trên \(\left[0;\sqrt{3}\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\in\left[0;\sqrt{3}\right]\)

\(f\left(0\right)=-3;f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{13}{4};f\left(\sqrt{3}\right)=-\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\max\limits_{\left[0;\sqrt{3}\right]}f\left(t\right)=-\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{3}\le-m\Rightarrow m\le\sqrt{3}\)