\(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)
Vì \(x,y>0\Rightarrow\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)
Mà \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)
Nên \(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+x-y-6\right)\left(x+y-x+y+6\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-6\right)\left(2y+6\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)
Do đó \(x-3\)và \(y+3\)trái dấu với nhau.
Mà \(y>0\Rightarrow y+3>0\)
Do đó \(x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)
Mà \(x>0\)nên \(x\in\left\{1;2\right\}\)
Với \(x=1\)thì phương trinh trở thành:
\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=\left(-y-5\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\)
\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1-y^2-10y-25=0\)
\(\Leftrightarrow y^3+2y^2-7y-24=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^3-3y^2\right)+\left(5y^2-15y\right)+\left(8y-24\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(y-3\right)+5y\left(y-3\right)+8\left(y-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+5y+8\right)\left(y-3\right)=0\)
Mà \(y>0\Rightarrow y^2+5y+8>0\), do đó:
\(y-3=0:\left(y^2+5y+8\right)\)
\(\Leftrightarrow y-3=0\)
\(\Leftrightarrow y=3\)(thỏa mãn \(y>0\))
Với \(x=2\), phương trình trở thành:
\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\)(1)
\(\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=\left(-y-4\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\)
\(\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8-y^2-8y-16=0\)
\(\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)
Vì \(y>0\left(y\in Z\right)\)nên \(y\ge1\)
Do đó\(y^3+5y^2+4y\ge1+5+4=10\)
\(\Rightarrow y^3+5y^2+4y-8\ge2>0\)
Do đó phương trình (1) vô nghiệm.
Vây phương trình có tập nghiệm (x;y) = (1;3)
(tin thứ 1 và 2 tớ ghi \(y>0\), nhớ viết thêm \(y\in Z\)sau mỗi \(y>0\)nhé).