giúp mình với cho x+y+z=3 Tìm GTLN xy/(x+3y+2z) + yz/(y+3z+2x) + zx/(z+3x+2y)
*) tìm giá trị lớn nhất: từ giả thiết \(\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3\le x^2\\y^3\le y^2\end{cases}\Leftrightarrow}x^3+y^3\le x^2+y^2=1}\)
maxA=1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3=x^2\\y^3=y^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{cases}}}\)
*) tìm giá trị nhỏ nhất \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=1\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\Rightarrow\frac{x+y}{\sqrt{2}}\le1\)
do đó \(x^3+y^3\ge\frac{\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{2}}\)theo bđt Bunhiacopxki
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)=\left[\left(\sqrt{x^3}\right)^2+\left(\sqrt{y^3}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\)
\(\ge\left(\sqrt{x^3}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{y^3}\cdot\sqrt{y}\right)^2=x^2+y^2=1\)
vậy minA=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
