Áp dụng BĐT Cauchy-chwarz dưới dạng engel ta có
\(\dfrac{a^2}{a+2b}+\dfrac{b^2}{b+2a}+\dfrac{c^2}{c+2a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+2\left(a+b+c\right)}\)
<=> \(P=\dfrac{3^2}{3+6}=\dfrac{9}{9}=1\)
=> Min P=1 khi a=b=c
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\(\dfrac{a^2}{a+2b}+\dfrac{a+2b}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{a+2b}.\dfrac{a+2b}{9}}=\dfrac{2a}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Tương tự
\(\dfrac{b^2}{b+2c}+\dfrac{b+2c}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{b+2c}.\dfrac{b+2c}{9}}=\dfrac{2b}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c\)
\(\dfrac{c^2}{c+2a}+\dfrac{c+2a}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{c^2}{c+2a}.\dfrac{c+2a}{9}}=\dfrac{2c}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(c=a\)
\(\Rightarrow P+\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{9}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow P+1\ge2\) (vì \(a+b+c=3\))
\(\Rightarrow P\ge1\)
GTNN của P =1 đạt được khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
