Question

tìm GTNN của M =\(\frac{x^2+16}{x+3}\) khi x\(\ge\) 0

 

Answer 1

Ta có : \(M=\frac{x^2+16}{x+3}=\frac{\left(x^2+6x+9\right)-6\left(x+3\right)+25}{x+3}=\frac{\left(x+3\right)^2-6\left(x+3\right)+25}{x+3}\)

\(=\left(x+3\right)+\frac{25}{x+3}-6=t+\frac{25}{t}-6\)với \(t=x+3>0\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(t+\frac{25}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{25}{t}}=10\Rightarrow M\ge4\). 

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t>0\\t=\frac{25}{t}\end{cases}\Leftrightarrow}t=5\Leftrightarrow x=2\)

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x = 2