Question

Tìm GTNN của biểu thức:

\(M=\left|x-2010\right|+\left|2009-x\right|\)

Answer 1

Ta có : 

\(M=\left|x-2010\right|+\left|2009-x\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có : 

\(M=\left|x-2010\right|+\left|2009-x\right|\ge\left|x-2010+2009-x\right|=\left|-1\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x-2010\right)\left(2009-x\right)\ge0\)

Trường hợp 1 : 

\(\hept{\begin{cases}x-2010\ge0\\2009-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2010\\x\le2009\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(x\in\left\{\varnothing\right\}\)

Trường hợp 2 : 

\(\hept{\begin{cases}x-2010\le0\\2009-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2010\\x\ge2009\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(2009\le x\le2010\)

Vậy GTNN của \(M=1\) khi \(2009\le x\le2010\)

Chúc bạn học tốt ~