Question

Tìm GTNN của biểu thức \(\dfrac{16x^3}{y}+\dfrac{y^3}{x}-\sqrt{xy}\)

Answer 1

ADBDT cô-si ta được

A lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{\dfrac{16x^3y^3}{xy}}-\sqrt{xy}=8xy-\sqrt{xy}\)

Đặt \(\sqrt{xy}=t\)

A lớn hơn hoặc bằng 8t²-t=8(t²-2.\(\dfrac{1}{16}t+\dfrac{1}{16^2}-\dfrac{1}{16^2}\))

=8(t-\(\dfrac{1}{16}\))²-\(\dfrac{1}{32}\) lớn hơn hoặc bằng -\(\dfrac{1}{32}\)

min A =\(\dfrac{-1}{32}\) Dấu bằng xảy ra <=>t=\(\dfrac{1}{16}\)=>\(\sqrt{xy}=\dfrac{1}{16}=>xy=\dfrac{1}{16^2}\)(1)

và \(\dfrac{16x^3}{y}=\dfrac{y^3}{x}=>2x=y=>\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2}\)=>x=\(\dfrac{y}{2}\) (2)

Thay (2) vào (1)

=>\(\dfrac{y^2}{2}=\dfrac{1}{16^2}=>y=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\)=>x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{32}\)