Question

tìm gtnn của biểu thức biết x,y>0, x+y=1 : A=(1+2/x)^2+(1+2/y)^2

Answer 1

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức 

\(A\ge\frac{\left(1+\frac{2}{x}+1+\frac{2}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}\)

Theo BĐT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

hay \(\frac{\left(2+\frac{8}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(10\right)^2}{2}=\frac{100}{2}=50\)

Vậy \(A\ge50\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)