Đặt : `2x^{2}+y^{2}-2xy+4y-5=A`
`=>2A=4x^{2}+2y^{2}-4xy+8y-10`
`=(4x^{2}-4xy+y^{2})+(y^{2}+8y+16)-26`
`=(2x-y)^{2}+(y+4)^{2}-26\ge -26`
`=>2A\ge -26=>A\ge -13`
Dấu ''='' xảy ra `<=>(2x-y)^{2}=(y+4)^{2}=0`
`<=>(x;y)=(-2;-4)`
Vậy GTNN của biểu thức là : `-13` tại `(x;y)=(-2;-4)`
Đặt \(A=2x^2+y^2-2xy+4y-5\)
\(A=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+4y-5\right)\)
\(A=\left(x-y\right)^2+\left(x^2+4x+4\right)-4x+4y-9\)
\(A=\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2-4\left(x-y\right)-9\)
\(A=\left(x-y\right)^2-4\left(x-y\right)+4+\left(x+2\right)^2-13\)
\(A=\left(x-y-2\right)^2+\left(x+2\right)^2-13\ge-13\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(Min_A=-13\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-4\end{matrix}\right.\)