Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=x^2+y^2-xy-x+y+1 giúp mình với m.n ui

Answer 1

\(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)

\(4M=4x^2+4y^2-4xy-4x+4y+4\)

\(=\left(4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y\right)+\left(3y^2+2y+3\right)\)

\(=\left(2x-y-1\right)^2+3\left(y^2+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{8}{3}\)

\(=\left(2x-y-1\right)^2+3\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\ge\dfrac{8}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\y+\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MinM=\dfrac{2}{3}\)