Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(A=\sqrt{x^2-6x+2y^2+4y+20}+\sqrt{x^2+2x+5}\)

Answer 1

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2+9}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(3-x\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+2^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(3-x+x+1\right)^2+\left(3+2\right)^2}\text{ }\left(Mincopxki\right)\)

\(=\sqrt{41}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(y+1=0\text{ và }\frac{3-x}{x+1}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow y=-1;\text{ }x=\frac{3}{5}.\)

Vậy GTNN của A là \(\sqrt{41}\)