Question

Tìm các số tự nhiên n để x²ⁿ+xⁿ+1 chia hết cho x²+x+1

Answer 1

Đơn giản là sét số dư của n khi chia cho 3 

+) Nếu n = 3k ( k thuộc N ) 

x^2n + x^n + 1 = x^6k + x^3k + 1 = ( x^6k - 1 ) + ( x^3k - 1 ) + 3 

x^6k - 1 , x^3k - 1 :/ x^3 - 1 :/ ( x² + x + 1 ) 

=> x^2n + x^n + 1 chia x² + x + 1 dư 2 => Vô lý 

+) n = 3k + 2 

x^2n + x^n + 1 = x.x^(3(2k+1)) + x².x^3k + 1 = x( x^(3(2k+1) - 1 ) + x²( x^3k - 1 ) + ( x² + x + 1 ) 

x( x^(3(2k+1) - 1 ) + x²( x^3k - 1 ) + ( x² + x + 1 ) :/ x² + x + 1 

=> n = 3k + 2 thỏa mán đề bài 

làm tương tự trường hợp n = 3k + 1 cũng thỏa mãn đề bài 

Vậy mọi n có dạng 3k + 2 hoặc 3k + 1 đều thỏa mãn đề bài 

- - - - - - - - - 

Chú ý :/ là chia hết , x^3k - 1 luôn chia hết cho x² + x + 1