\(A=x\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+8\right).\)
\(=\left(x^2+8x\right)\left(x^2+8x+7\right)\)
giả sử tồn tại x∊Z để x.(x+1).(x+7).(x+8) là số chính phương
đặt x.(x+1).(x+7).(x+8) = n² (n∊N)
<=> (x²+8x).(x²+8x+7) = n²
<=> (2x²+16x).(2x²+16x+14) = 4n²
<=> (2x²+16x).(2x²+16x+7)+7.(2x²+16x) = 4n²
<=> (2x²+16x).(2x²+16x+7)+7.(2x²+16x+7) = 4n²+49
<=> (2x²+16x+7)² = 4n²+49
<=> (2x²+16x+7-2n).(2x²+16x+7+2n) = 49
x∊Z,n∊N=>2x²+16x+7-2n∊Z ; 2x²+16x+7+2n∊Z
n∊N=>2x²+16x+7-2n≤2x²+16x+7+2n
Phân tích 49 thành tích 2 số nguyên chỉ có
49 = 1.49 = 7.7 = (-1).(-49) = (-7).(-7)
-nếu 2x²+16x+7-2n = 2x²+16x+7+2n
<=> n=0
<=> x.(x+1).(x+7).(x+8)
<=> x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -7 hoặc x = -8
thử lại thấy thỏa mãn
-nếu 2x²+16x+7-2n ≠ 2x²+16x+7+2n
+2x²+16x+7-2n = 1 và 2x²+16x+7+2n = 49
<=> x²+8x-n = -3 và x²+8x+n = 21
<=> n = 12 và x = 1 hoặc x = -9
+2x²+16x+7-2n = -49 và 2x²+16x+7+2n = -1
<=> x²+8x-n = -28 và x²+8x+n = -4
<=> n = 12 và x = -8
thử lại thấy thỏa mãn
vậy...
A=x(x−1)(x−7)(x−8)A=x(x−1)(x−7)(x−8)
=[x(x−8)][(x−1)(x−7)]=[x(x−8)][(x−1)(x−7)]
=(x2−8x)(x2−8x+7)=(x2−8x)(x2−8x+7)
=(x2−8x)+7(x2−8x)=(x2−8x)+7(x2−8x)
Đặt a=x2+8xa=x2+8x => A=a2+7aA=a2+7a
Để A là số chính phương thì A=b2(b∈Z)A=b2(b∈Z)
⇒a2+7a=b2=4a2+28a+49−49−4b2=0⇒a2+7a=b2=4a2+28a+49−49−4b2=0
⇒(2a+7)2−(2b)2=49⇒(2a+7)2−(2b)2=49
⇒(2a+7+2b)(2a+7−2b)=49⇒(2a+7+2b)(2a+7−2b)=49
⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈Ư(49)⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈Ư(49)
⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈{±1;±7;±49}⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈{±1;±7;±49}
*còn lại bạn tự xét các trường hợp rồi chuyển lại a = x2 + 7x để tìm x nha.
CÁO TỪ