Question

Tìm các số nguyên tố x,y sao cho x²-2y²=1

 

Answer 1

Ta có x2−2y2=1→x2−1=2y2 

+ Nếu x chia hết cho 3 thì x=3 (vì x là số nguyên tố). Thay vào  ta có 

32−1=2y2=8→y2=4→y=2

+ Nếu x không chia hết cho 3 thì x có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k ∈ N) 

Với x=3k+1 thì 2y2=x2−1=(x−1)(x+1)=(3k+1−1)(3k+1+1)=3k(3k+2)⋮3

Với x= 3k+2 thì 2y2=x2−1=(x−1)(x+1)=(3k+2−1)(3k+2+1)=(3k+1)(3k+3)=3(3k+1)(k+1)⋮3

Như vậy với mọi x không chia hết cho 3 thì x2−1⋮3→2y2⋮3. Mà (2;3)= 1

Nên y2⋮3. Do 3 là số nguyên tố nên y⋮3. Mà y là số nguyên tố nên y=3

Thay y=3 vào  ta có:

x2−1=2.32=18→x2=19→x=19−−√ (không tm)


Vậy chỉ có 1 cặp số (x;y) thỏa mãn là x=3; y=2