Question

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(x^2+xy+y^2=x^2y^2\)

Answer 1

À uhm , tớ viết thiếu : xy = -1 chứ ko phải 1 nhé , Còn cách thì có nhiều , góp cho bạn 2 cách nữa : 

C1 , \(pt\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2=\left(2xy+1\right)^2-1\) (Tại sao thì ráng hiểu :V)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2-\left(2xy+1\right)^2=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+2y-2xy-1\right)\left(2x+2y+2xy+1\right)=-1\)

Úm ba la lập bảng là ra

C2,Dùng bđt cho lạ :V

Giả sử |x| < |y|

\(\Rightarrow x^2\le y^2;xy\le y^2\)

Khi đó  \(x^2+xy+y^2\le y^2+y^2+y^2=3y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2\le3y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2\le3\)

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0;1\right\}\)(Do x nguyên) 

Ngạc nhiên chưa !!! -_-

Answer 2

Góp thêm cách nữa ạ:

                                        Lời giải

Nhân 4 vào mỗi vế

\(4x^2+4xy+4y^2=4x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2+3y^2=4x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2=y^2\left(4x^2-3\right)\)

Nếu y = 0 thì x = 0.Ta có nghiệm (0;0)

Nếu \(y\ne0\) thì \(4x^2-3=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-k\right)\left(2x+k\right)=3\)

Dễ dàng tìm được \(x=\pm1\).Thay vào tìm được y.

Answer 3

\(x^2+xy+y^2=x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(xy\right)^2+xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)

Vì VT là số chính phương nên VP cũng là scp

Mà xy và xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}xy=0\\xy=1\end{cases}}\)

Làm nốt

Answer 4

Anh Incursion: Em có cách khác ạ:

                  Lời giải 

Viết phương trình thành phương trình bậc 2 đối với x:\(\left(y^2-1\right)x^2-xy-y^2=0\) (2)

Xét y = 1, (2) có dạng: \(-x-1=0\Leftrightarrow x=-1\)

Xét y = -1, (2) có dạng: \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Xét \(y\ne\pm1\),(2) là phương trình bậc 2 đối với x.

(2) có nghiệm \(\Delta=y^2+4y^2\left(y^2-1\right)=y^2\left(4y^2-3\right)\)

\(\Delta\)phải là số chính phương.

Nếu y = 0 thì từ (2) suy ra x = 0

Nếu \(y\ne0\) thì \(\left(4y^2-3\right)\)là số chính phương/

Từ là \(4y^2-3=k^2\Leftrightarrow\left(2y-k\right)\left(2y+k\right)=3\)

Giả ra,ta tìm được: \(y=\pm1\) (loại,vì không thỏa mãn khoảng đang xét)

Vậy...

À mà em nghĩ do xy và xy + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số = 0.Với TH xy + 1 = 0 thì xy = -1 chứ ạ?

Answer 5

Thế là bài này đã có 5 cách giải=)