\(x^2+y^2+z^2=12\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)=12\)
\(\Leftrightarrow36-2\left(xy+yz+zx\right)=12\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\left(=12\right)\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Mỗi hạng tử bên VT đều > 0 nên dấu "=" khi x = y = z
mà x + y + z = 6 => x = y = z = 2
Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)với mọi x, y, z
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)
<=> \(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2zx+2yz\)
<=>\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)(1)
(Có nhiều cách để chững minh bđt (1) cũng có thể áp dụng luôn vào bài)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12\)
"=" Xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=6\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=2\)