1.
PT $\Leftrightarrow 4x^2+4x+1=y^3+y^2+y+1$
$\Leftrightarrow (2x+1)^2=(y^2+1)(y+1)$
Gọi $d=(y^2+1, y+1)$
$\Rightarrow y^2+1\vdots d; y+1\vdots d$
$\Rightarrow y(y+1)-(y^2+1)\vdots d$ hay $y-1\vdots d$
$\Rightarrow (y+1)-(y-1)\vdots d\Rightarrow 2\vdots d$
$\Rightarrow d=1,2$
Nếu $d=2$ thfi $(2x+1)^2\vdots 2$ (vô lý do $2x+1$ lẻ)
$\Rightarrow d=1$
Tức là $(y^2+1, y+1)=1$. Mà tích của chúng là 1 scp nên mỗi số
$y^2+1, y+1$ cũng là scp
Đặt $y^2+1=a^2; y+1=b^2$
$\Rightarrow (b^2-1)^2+1=a^2$
$\Leftrightarrow 1=a^2-(b^2-1)^2=(a-b^2+1)(a+b^2-1)$
$\Rightarrow a-b^2+1=a+b^2+1=1$ hoặc $a-b^2+1=a+b^2+1=-1$
Cả 2 TH đều suy ra $y=0$
$\Rightarrow 4x^2+4x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-1$
2.
$x^4+2x^2=y^3$
$\Leftrightarrow (x^2+1)^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$
Đặt $d=(y+1, y^2-y+1)$
$\Rightarrow y+1\vdots d; y^2-y+1\vdots d$
$\Rightarrow (y+1)^2-(y^2-y+1)\vdots d$
$\Rightarrow 3y\vdots d$
Nếu $d\vdots 3$ thì $x^2+1\vdots 3$. Điều này vô lý do 1 scp khi chia 3 dư 0 hoặc 1,
$\Rightarrow x^2+1$ khi chia cho $3$ dư $2$ hoặc $1$ (tức là không chia hết cho 3)
Do đó $d$ và $3$ nguyên tố cùng nhau. Khi đó từ $3y\vdots d$
$\Rightarrow y\vdots d$
Kết hợp với $y+1\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
$\Rightarrow (y+1, y^2-y+1)=1$. Mà tích của chúng là scp nên mỗi số
$y+1, y^2-y+1$ cũng là scp
Đặt $y+1=a^2; y^2-y+1=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$
Có:
$y^2-y+1=b^2$
$\Leftrightarrow (2y-1)^2+3=(2b)^2$
$\Leftrightarrow 3=(2b-2y+1)(2b+2y-1)$
Đây là dạng pt tích đơn giản và ta tìm được $y=0$ hoặc $y=1$
Thay vô pt ban đầu thì có cặp $(x,y)=(0,0)$
b, \(x^4+2x^2\ge0\Rightarrow y\ge0\)
- Với y = 0 = > x = 0
- Với \(y\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2=y^3+1=\left(y+1\right)\left(y^2-y+1\right)\)
Gọi \(d=ƯCLN\left(y+1;y^2-y+1\right)\)
\(\Rightarrow y\left(y+1\right)-\left(y^2-y+1\right)⋮d\)\(\Rightarrow2y-1⋮d\)
\(\Rightarrow2\left(y+1\right)-\left(2y-1\right)⋮d\)\(\Rightarrow3⋮d\)
- Nếu d = 3 = > \(VP⋮3\Rightarrow VT⋮3\Rightarrow x^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
- Nếu d = 1 = > \(\hept{\begin{cases}y+1=a^2\\y^2-y+1=b^2\end{cases}}\)
Ta có \(y\ge1\)\(\Rightarrow-y+1\le0\Rightarrow y^2-y+1\le y^2\)
Và \(y^2-y+1>y^2-2y+1\)
\(\Rightarrow\left(y-1\right)^2< y^2-y+1\le y^2\)
\(\Rightarrow y^2-y+1=y^2\Rightarrow y=1\)
Nhưng khi đó \(y+1=2\)không phải số chính phương ( loại )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=y=0\)