Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+c\) ; áp dụng định lý Bơ - du ta có:
\(f\left(-2\right)=-8a+4b+c=0\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác theo định lý cơ bản thì tồn tại đa thức \(Q\left(x\right)\) đã cho:
\(ax^3+bx^2+c=\left(x^2-1\right)Q\left(x\right)+x+5\)
Cho x = 1 ta được: \(a+b+c=6\) \(\left(2\right)\)
Cho x = - 1 ta được: \(-a+b+c=4\) \(\left(3\right)\)
Kết hợp \(\left(1\right)\) ; \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}-8a+4b+c=0\\-a+b+c=4\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=4\end{matrix}\right.\)
f(x)=ax3+bx2+cf(x)=ax3+bx2+c
f(x) chia hết cho x - 2 ⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0
⇒8a+4b+c=0 (1)⇒8a+4b+c=0 (1)
f(x) chia x2 - 1 dư x + 5 ⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5
f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6 f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6
⇒a+b+c=6 (2)⇒a+b+c=6 (2)
f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4
⇒−a+b+c=4 (3)⇒−a+b+c=4 (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra a=1;b=−133;c=283a=1;b=−133;c=283
Vậy f(x)=x3−133x2+283
f(x)=ax3+bx2+cf(x)=ax3+bx2+c
f(x) chia hết cho x - 2 ⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0
⇒8a+4b+c=0 (1)⇒8a+4b+c=0 (1)
f(x) chia x2 - 1 dư x + 5 ⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5
f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6 f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6
⇒a+b+c=6 (2)⇒a+b+c=6 (2)
f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4
⇒−a+b+c=4 (3)⇒−a+b+c=4 (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra a=1;b=−133;c=283a=1;b=−133;c=283
Vậy f(x)=x3−133x2+283
Từ giả thiết ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}ax^3+bx^2+c=\left(x+2\right)\cdot a\left(x\right)\\ax^3+bx^2+c=\left(x^2-1\right)\cdot b\left(x\right)+x+5\end{matrix}\right.\)
Với \(x=-2\Rightarrow-8a+4b+c=0\)
Với \(x=1\Rightarrow a+b+c=0+1+5=6\)
Với \(x=-1\Rightarrow-a+b+c=0-1+5=4\)
Từ đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}-8a+4b+c=0\left(1\right)\\a+b+c=6\left(2\right)\\-a+b+c=4\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)-\left(3\right)=2a=2\Rightarrow a=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=5\\4b+c=8\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;4\right)\)
Ta có a3 + bx2 + c \(⋮\)x + 2
=> x = -2 là nghiệm của đa thức
f(-2) = -8a + 4b + c = 0 (1)
f(x) chia x2 - 1 dư x + 5
=> ax3 + bx2 - x + c - 5 \(⋮\)x2 - 1
=> x = \(\pm\)1 nghiệm đa thức
Khi đó f(1) = a + b + c = 6 (2)
f(-1) = -a + b + c = 4 (3)
Từ (2) và (3) => a = 1 ; b + c = 5 (4)
Từ (1) ; (4) ta được b = 1 ; c = 4
Vậy a = 1 ; b = 1 ; c = 4