A = 2100 - 299 - 298 - ...... - 22 - 2 - 1
A = 2100 - ( 299 + 298 + ...... + 22 + 2 + 1 )
Đặt B là 1 + 2 + 22 + ... + 298 + 299
2B = 2 + 22 + 23 + ... + 299 + 2100
B = 2B - B = 2100 - 1
A = 2100 - B = 2100 - ( 2100 - 1 ) = 2100 - 2100 + 1 = 1
2A = 2101 - 2100 - 299 - ..............- 23 - 22 - 2
Lấy 2A - A ta có:
2A - A = 2101 - 2.2100 +1
A = 2101 - 2101 + 1
= 1
A = 2^100 - (2^99 + 2^98 + ... + 2^2 + 2 + 1)
Đặt: 2^99 + 2^98 + ... + 2^2 + 2 + 1 là biểu thức B ta có:
B = 2^99 + 2^98 + ... + 2^2 + 2 + 1
2B = 2^100 + 2^99 + 2^98 + ... + 2^3 + 2^2 + 2
Ta lấy 2B - B = (2^100 + 2^99 + 2^98 + ... + 2^3 + 2^2 + 2) - (2^99 + 2^98 + ... + 2^2 + 2 + 1)
B = 2^100 + 2^99 + 2^98 + ... + 2^3 + 2^2 + 2 - 2^99 - 2^98 - ... - 2^2 - 2 - 1
B = 2^100 -1
Thay B = 2^100 -1 vào biểu thức A ta được:
A = 2^100 - (2^100 -1)
A = 2^100 - 2^100 + 1
=> A = 1