Question

tam giác ABC vuông cân tại A . M  là  trung điểm của BC. D thuộc BC .BH vuông góc AD tại H.    CI vuông góc AD=I . AM giao BH   tại K. Chứng minh 

a) AH=CI

b)  DK vuông góc AB

c) AH² + AI² có giá trị không đổi  khi D thay đổi  trên BC

Answer 1

a) Xét tam giác vuông AIC có: góc IAC + ICA = 90^o

Góc BAH + IAC = BAC = 90^o

=> góc IAC = BAH 

Xét tam giác vuông AIC và BHA có: AC = BA; góc IAC = BAH 

=> tam giác AIC = BHA (cạnh huyền - góc nhọn )

=> CI = AH 

b) Tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên đồng thời là  đường cao => AM vuông góc BC 

Xét tam giác BKA có: 2 đường cao BM và AH cắt nhau tại D

=> D là trực tâm => KD là đường cao thứ 3 => DK vuông góc với AB

c) Có CI = AH (câu a)

=> AH² + AI² = CI² + AI² = AC² (ĐL pi ta go)

mà AC không đổi => AH² + AI² không đổi khi D thay đổi trên BC