Question

\(\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}\) + \(\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}\)=1

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

\(\sqrt{x+1-4\sqrt{x+1}+4}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+1}+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-\sqrt{x+1}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|2-\sqrt{x+1}\right|+\left|\sqrt{x+1}-1\right|=1\)

Mặt khác ta có:

\(\left|2-\sqrt{x+1}\right|+\left|\sqrt{x+1}-1\right|\ge\left|2-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}-1\right|=1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left(2-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{x+1}\le2\)

\(\Leftrightarrow0\le x\le3\)

Vậy nghiệm của pt đã cho là \(0\le x\le3\)