Ta đặt \(f\left(n\right)=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}\) (\(n\) dấu căn)
Xét phương trình \(x^2-x-4=0\), pt này có nghiệm \(t=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}< 3\). Ta sẽ chứng minh \(f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)
Dễ thấy \(f\left(1\right)< t\). Giả sử \(f\left(n\right)< t\). Khi đó:
\(f\left(n+1\right)=\sqrt{4+f\left(n\right)}< \sqrt{4+t}\).
Mà \(4+t=t^2\) (do \(t\) là nghiệm của pt \(x^2-x-4=0\)) nên suy ra \(f\left(n+1\right)< \sqrt{4+t}=\sqrt{t^2}=t\).
Vậy \(f\left(n+1\right)< t\). Theo nguyên lí quy nạp \(\Rightarrow f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)
Mà \(t< 3\) \(\Rightarrow f\left(n\right)< 3\), \(\forall n\inℕ^∗\).
Vậy \(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}< 3\)