Question

So sánh: a)  \(\sqrt{25-16}\) và \(\sqrt{25}\)-\(\sqrt{16}\)

b) Chứng minh rằng: với a>b>0 thì \(\sqrt{a}\)-\(\sqrt{b}\) < \(\sqrt{a-b}\)

Answer 1

b) Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương :)

Ta có : \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}< a-b\)

\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\) (1)

Vì a>b nên \(b-a< 0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)< 0\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< 0\) (vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\))

Lại có \(\sqrt{b}>0\) \(\Rightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\) đúng.

Vì bđt cuối đúng nên bđt ban đầu được chứng minh

Answer 2

\(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)

\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\)

\(\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)