\(\int^{xy+\left(x+y\right)=a+1}_{\left(x+y\right)xy=a}\)
đặt u=xy v=x+y
\(\text{Nếu }\left(x;y\right)=\left(x_0;\text{ }y_0\right)\text{ là 1 nghiệm thì }\left(x;y\right)=\left(y_0;\text{ }x_0\right)\text{ cũng là một nghiệm.}\)
Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi \(x_0=y_0\)
Ta giải hệ gồm:
\(\left(1\right)\text{ }x=y\)
\(\left(2\right)\text{ }xy+x+y=a+1\)
\(\left(3\right)\text{ }x^2y+y^2x=a\)
\(\Rightarrow\int^{x^2+2x-1=a}_{2x^3=a}\Rightarrow2x^3=x^2+2x-1\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;\text{ }x=-1;\text{ }x=-\frac{1}{2}\)
\(+\text{TH1: }x=1\rightarrow a=2\)
a = 2, thay vào hệ ban đầu ta được
\(\int^{xy+x+y=3}_{xy\left(x+y\right)=2}\Leftrightarrow\int^{xy=3-\left(x+y\right)}_{\left(x+y\right)\left[3-\left(x+y\right)\right]=2}\Leftrightarrow\int^{x+y=2}_{xy=1}\text{ hoặc }\int^{x+y=1}_{xy=2}\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\text{ }\left(\text{Vi-et đảo}\right)\)
Vậy a = 2 thỏa đề.
\(+TH2:\text{ }x=-1\rightarrow a=-2\), tương tự
\(+TH3:x=\frac{1}{2}\rightarrow a=\frac{1}{4}\), tương tự