Question

Số các số tự nhiên n lớn hơn 10 và nhỏ hơn 1000 thỏa mãn (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau.

Answer 1

 Giả sử 
(7n+2,2n+1) =k với k# 3 
=> (7n+2, 3(2n+1)) =k (do k #3) 
=> [7n+2 -3(2n+1), 2n+1] =k 
=> (n-1, 2n+1) =k (*) 
Mặt khác k lẻ do 2n +1 lẻ 
Từ (*) => (2n+1, 2n-2) =k 
=> [2n+ 1, (2n+1) -(2n-2)] =k 
=> (2n+1,3) =k 
do k # 3 => k=1 
Từ đó suy ra với giá trị nào đó của n thì 2 số đã cho chỉ có ước chung duy nhất là k =3, còn lại là nguyên tố cùng nhau 
Ta thấy nếu n có dạng n=3k +1 thì 2n+1 và 7n+2 có ước chung là k =3 
=> n=3k và n=3k+2 thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau 
Từ 11 -> 999 có 989 số, trong đó có 329 số chia cho 3 dư 1 (do ko tính số 10 theo đề bài) 
Như vậy còn lại 989 -329 = 660 số n để (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau