Đặt tích 2 số tự nhiên liên tiếp là \(a\left(a+1\right)=a^2+a\)
Ta sẽ xét xem tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 dư bao nhiêu.
TH1: a chia hết cho 3
\(\Rightarrow\)a2 chia hết cho 3 và a cũng chia hết cho 3
\(\Rightarrow a^2+a\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) chia hết cho 3
TH2: a chia 3 dư 1 -> a có dạng 3k+1
\(\Rightarrow a^2=\left(3k+1\right)^2=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)=\left(3k+1\right)3k+\left(3k+1\right).1=9k^2+3k+3k+1\)\(=3.\left(3k^2+k+k\right)+1\)
\(\Rightarrow a^2+a=3.\left(3k^2+k+k\right)+1+3k+1=3.\left(3k^2+k+k+k\right)+1+1=3.\left(3k^2+3k\right)+2\)
Thấy \(3.\left(3k^2+3k\right)+2\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow a^2+a\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) chia 3 dư 2
TH3: a chia 3 dư 2
\(\Rightarrow a^2=\left(3k+2\right)^2=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)=\left(3k+2\right).3k+\left(3k+2\right).2=9k^2+6k+6k+4\) \(=3.\left(3k^2+2k+2k\right)+4\)
\(\Rightarrow a^2+a=3.\left(3k^2+2k+2k\right)+4+3k+2=3.\left(3k^2+2k+2k+k\right)+6\)
\(=3.\left(3k^2+5k\right)+3.2=3.\left(3k^2+5k+2\right)\) chia hết cho 3
Như vậy tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2.
Mà \(\left(-3\right)^{20}+1=3^{20}+1\) chia 3 dư 1
Vậy \(\left(-3\right)^{20}+1\) không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp.