Ở một công ty người ta dùng máy thăm dò nước ngầm. Kinh nghiệm cho biết cứ 10 địa điểm bị nghi vấn thì có 7 vị trí là có nước ngầm. Ở vị trí có nước ngầm máy báo đúng với xác suất 0,85. Ở vị trí không có nước ngầm máy báo sai với xác suất 0,1. Một vị trí được máy phân tích. Hãy tính xác suất
(a) Máy báo vị trí này có nước ngầm.
(b) Máy báo đúng.
Gọi sự kiện A là vị trí này có nước ngầm, sự kiện B là máy báo đúng.
Ta có:
P(A) = 7/10 (vì cứ 10 địa điểm bị nghi vấn thì có 7 vị trí là có nước ngầm)
P(B|A) = 0.85 (vị trí có nước ngầm máy báo đúng với xác suất 0.85)
P(~B|~A) = 0.9 (vị trí không có nước ngầm máy báo sai với xác suất 0.1)
`(a)` Ta cần tính xác suất P(A|B), tức là vị trí này có nước ngầm khi máy báo đúng.
Theo công thức Bayes, ta có:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
Trong đó:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A) (theo định lý xác suất toàn phần)
P(~A) = 1 - P(A) (vì chỉ có hai khả năng: có nước ngầm hoặc không có nước ngầm)
Thay giá trị vào ta được:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A) = 0.85 * 7/10 + 0.9 * 3/10 = 0.865
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 0.85 * 7/10 / 0.865 ≈ 0.692
Vậy xác suất vị trí này có nước ngầm khi máy báo đúng là khoảng 69.2%.
`(b)` Ta cần tính xác suất P(B), tức là máy báo đúng.
Theo công thức Bayes, ta có:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)
Thay giá trị vào ta được:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A) = 0.85 * 7/10 + 0.1 * 3/10 = 0.655
Vậy xác suất máy báo đúng là khoảng 65.5%.