Question

Cho hàm số \(y=x^3-3mx^2+4m^3\) (m là tham số) có đồ thị Cm

Xác định m để Cm có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x

Answer 1

kho nhu bay len mat troi

Answer 2

gợi ý :

Tìm giá trị của \(m\) để hàm số có cực đại ,cực tiểu .

Answer 3

Ta có \(y'=3x^2-6mx=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=2m\end{cases}\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m khác 0

Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left(0;4m^3\right),B\left(2m;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2m;-4m^2\right)\)

Trung điểm của đoạn AB là \(I\left(m;2m^3\right)\)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y=x là AB vuông góc với đường thẳng y=x và I thuộc đường thẳng y=x

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2m-4m^3=0\\3m^3=m\end{cases}\)

Kết hợp với điều kiện ta có : \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Giải ra ta có \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2};m=0\)

Answer 4

Ta có y ′ =3x 2 −6mx=0⇔{x=0x=2m  y′=3x2−6mx=0⇔{x=0x=2m

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m khác 0

Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị là A(0;4m 3 ),B(2m;0)⇒AB − → −  =(2m;−4m 2 ) A(0;4m3),B(2m;0)⇒AB→=(2m;−4m2)

Trung điểm của đoạn AB là I(m;2m 3 ) I(m;2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y=x là AB vuông góc với đường thẳng y=x và I thuộc đường thẳng y=x

⇔{2m−4m 3 =03m 3 =m  ⇔{2m−4m3=03m3=m

Kết hợp với điều kiện ta có : m=±2  √ 2  m=±22

Giải ra ta có m=±2  √ 2 ;m=0

Answer 5

Ta có y ′ =3x 2 −6mx=0⇔{x=0x=2m y′=3x2−6mx=0⇔{x=0x=2m

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m khác 0

Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị là A(0;4m 3 ),B(2m;0)⇒AB − → − =(2m;−4m 2 ) A(0;4m3),B(2m;0)⇒AB→=(2m;−4m2)

Trung điểm của đoạn AB là I(m;2m 3 ) I(m;2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y=x là AB vuông góc với đường thẳng y=x và I thuộc đường thẳng y=x

⇔{2m−4m 3 =03m 3 =m ⇔{2m−4m3=03m3=m

Kết hợp với điều kiện ta có : m=±2 √ 2 m

Giải ra ta có m=±2 √ 2 ;m=0