TD

(Lần đầu tiên nguyên lí Dirichlet được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức!)

Cho \(a,b,c\ge0\). Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

TN
14 tháng 1 2017 lúc 18:05

 \(BDT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2+2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

Từ đây ta thấy trong 3 số a,b,c sẽ có 2 số hoặc cùng \(\ge1\) hoặc cùng \(\le1\).giả sử 2 số đó là a và b suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

Vậy BĐT đầu luôn đúng

Bình luận (0)
AN
14 tháng 1 2017 lúc 18:46

Thích Dirichlet thì chơi Dirichlet

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số (a - 1); (b - 1); (c - 1) luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là (a - 1) và (b - 1).

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh 

\(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

 \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

 Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

Bình luận (0)
H24
24 tháng 11 2019 lúc 13:15

Em có cách biến đổi tương đương nhưng không đẹp lắm:(

W.L.O.G: \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

\(VT-VP=\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)\ge0\)

Ta có đpcm.

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
KN
22 tháng 4 2020 lúc 15:49

Do tính chất đối xứng giữa các biến nên ta giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Đặt \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2\left(ab+bc+ca\right)\)và \(t=\sqrt{ab}\ge c\)

Ta có:

\(\Rightarrow f\left(a,b,c\right)\ge f\left(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c\right)=f\left(t,t,c\right)\)

Vậy ta cần chứng minh với t, c > 0 thì: \(f\left(t,t,c\right)\ge0\)(*)

\(\Leftrightarrow c^2+2t^2c-4tc+1\ge0\Leftrightarrow\left(c-1\right)^2+2c\left(t-1\right)^2\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
TN
14 tháng 1 2017 lúc 17:55

đăng chơi hay đăng thứ thiệt thế

Bình luận (0)
H24
15 tháng 1 2017 lúc 9:30

Không hiểu được: @thangnguyen:c,(a-1), (b-1) vai trò không tương dương=> tại sao? lại g/s thèo chiều có lợi vậy

 nếu c=1/2; b=1/2;a=2 thì sao? nghĩa là cái 2 số theo lập luận không phải là a,b mà nó là bc thì tính sao?

Bình luận (0)
TD
15 tháng 1 2017 lúc 11:29

Bạn ngonhuminh, nó là \(a,b\) hay \(b,c\) cũng giống nhau cả vì BĐT đề cho là đối xứng.

Nghĩa là bộ \(a,b,c\) đổi thành \(c,a,b\) hay \(a,c,b\) vân vân cũng giống nhau.

Do đó "không mất tính tổng quát" có quyền giả sử \(a,b\) cùng lớn hơn hoặc bé hơn 1.

Bình luận (0)
H24
15 tháng 1 2017 lúc 11:54

Em đang nói lý luận của @ Thăng nguyễn Bước cuối: "lúc này không thể ép (a-1)(b-1)>=0

Mà phải ép cả c(a-1)>=0 và c(b-1)>=0

Nếu như @ALIBA ok logic vì khi đó a,b,c vai trò như nhau chưa bị giằng buộc

Bình luận (0)
H24
15 tháng 1 2017 lúc 12:05

Thực em chưa hiểu sâu cái nguyên lý này:nhưng từng bước toán  phải  logic mọi cái không logic=> chưa hoàn hảo

cụ thể

\(ok!..\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2+2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\\ \) cứ cho cái đúng 

rồi giờ phải c/m cái \(2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\) với mọi a,b,c>=0 

rồi đồng ý (chưa hiểu sâu) trong hai số a,b,c có hai số >+1 hoạc <=1(*)

ok  khi đó xẽ xẩy ra a>1  ; c<1 và b cũng nhỏ hơn 1 thủa cái lập luân (*) trên

=> c(b-1)<0

Vậy thôi! Như trên lấy ví dụ cụ thể : a=2, c=b=1/2 thỏa mãn tất

\(2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1.1.\left(-\frac{1}{2}\right)\ge0\left(sao???\right)\)

Bình luận (0)
VT
17 tháng 1 2017 lúc 12:05

ap dung bdt shur la ra

Bình luận (0)
VF
17 tháng 1 2017 lúc 22:32

cái lý luận trong cách t cho lên đầu hợp hơn nhưng phân tích xong ms thấy nên tiện cho xuống dưới

Bình luận (0)
H24
17 tháng 1 2017 lúc 23:10

@vongala 

đưa lên trước khi biến đổi không phải hợp lý hơn mà là bắt buộc----> giống lý luận của @ALiba

Bình luận (0)
LH
22 tháng 4 2020 lúc 15:57

kính mời quý khách đến nhà hàng của gđ mik đc : 255 Nguyễn Huệ , Q Tân Bình, TP HCM 

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
NT
27 tháng 4 2020 lúc 11:37

a=6 b=9 c=4 hihi

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
KN
24 tháng 8 2020 lúc 22:21

Dễ thấy bất đẳng thức có bậc hai đối với mỗi biến do đó ta có thể viết lại bất đẳng thức về dạng đa thức biến a, còn b và c đóng vai trò tham số 

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là \(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)

Xét \(f\left(a\right)=a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\)

Quan sát đa thức f(a) ta nhận thấy nếu \(bc-b-c\ge0\)thì khi đó ta luôn có \(f\left(a\right)\ge0\), tức là \(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)

Bây giờ ta xét trường hợp sau \(bc-b-c\le0\)

Khi đó ta có \(\Delta'_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\)

Để ý đến hệ số của hạng tử bậc hai là số dương nên để \(f\left(a\right)\ge0\)thì ta phải chỉ ra được \(\Delta'_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\le0\)

Hay \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)

Để ý đến \(bc-b-c\le0\)ta được \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le1\), lúc này xảy ra các khả năng sau

- Cả (b - 1); (c - 1) cùng nhỏ hơn 1 hay cả b và c đều nhỏ hơn 2, khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được\(b\left(2-b\right)\le\frac{\left(b+2-b\right)^2}{4}=1\)\(c\left(2-c\right)\le\frac{\left(c+2-c\right)^2}{4}=1\)

Suy ra \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le1\)nên ta có \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)

- Trong hai số (b - 1); (c - 1) có một số lớn hơn 1 và một số nhỏ hơn 1 khi đó trong b, c có một số lớn hơn 2 và một số nhỏ hơn 2 suy ra \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\)nên ta cũng có \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)

Như vậy cả hai khả năng đều cho \(\Delta'_a\le0\)nên bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
NN
Xem chi tiết
TK
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
LD
Xem chi tiết
LD
Xem chi tiết
KV
Xem chi tiết
HT
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
HN
Xem chi tiết