Question

làm ơn có ai giúp mik ko help me!!!!!!!

cho 3 số thực dương x;y;z thỏa mãn x+y+z<=3/2. tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)

Answer 1

thứ lỗi cho mk , mk không biết làm ; bài này khó quá

Answer 2

chuẩn k chỉnh

Answer 3

mik không bieetsn hà banj

Answer 4

rất tiếc ! không có ai giúp bạn cả

Answer 5

quá khó luôn

Answer 6

Sử dụng BĐT Cô-si ta có : 

\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2x\left(yz+1\right)^2y\left(zx+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)z^2\left(zx+1\right)x^2\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

Đặt \(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}=Q\)

Lại sử dụng BĐT Cô-si ta được :

 \(Q\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)

Suy ra \(P\ge6\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh