Ta có tính chất: Hiệu của một số với tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
( xem cách chứng minh tại link Câu hỏi của Nguyễn Phương Chi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath )
Do đó ta có:
\(A-S\left(A\right)⋮9\)
\(S\left(A\right)-S\left(S\left(A\right)\right)⋮9\)
\(S\left(S\left(A\right)\right)-S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)⋮9\)
=> Cộng lại và triệt tiêu ta có: \(A-S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)⋮9\)(1)
Ta có: \(A=2^{100}=2.2^{99}=2.8^{33}\)=> Số chữ số của A < 34
=> \(S\left(A\right)< 34.9=306\)
=> \(S\left(S\left(A\right)\right)< 3.9=27\)
=> \(S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)< 2.9=18\) (2)
Mặt khác \(A=2^{100}=2.2^{99}=2.8^{33}\equiv2\left(-1\right)^{33}\equiv-2\equiv7\left(mod9\right)\)
=> \(A-7⋮9\)(3)
Từ (1); (2); (3) => S(S(S(A))) có thể bằng 7 hoặc 16
=> S(S(S(S(A)))) = 7
:)))) . Bài này thú vị quá! <3