Question

Khi a+b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a³ + b³ + ab

Answer 1

\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2-ab+ab=a^2+b^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được : \(1=\left(1.a+1.b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Vậy Min \(a^3+b^3+ab=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Ta có:

\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2=a^2+\left(1-a\right)^2\) (vì a+b=1)

\(a^2+\left(1-a\right)^2=2a^2-2a+1=2\left(a^2-a+\frac{1}{2}\right)=2\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

=>GTNN của biểu thức là 1/2

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)