Đáp án B
Điều kiện
Phương trình đã cho tương đương với:
Đặt t = x 2 ≥ 1 , theo bài ra ta có 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x 1 2 < x 2 2 ≤ 9 ⇒ t ∈ 1 ; 9
Xét hàm số f ( t ) = 2 - ( t - 1 ) . log ( t + 1 ) trên đoạn 1 ; 9 .
Ta có
⇒ Hàm số f ( t ) đồng biến trên đoạn 1 ; 9 . Khi đó f ( 1 ) ≤ f ( t ) ≤ 9 hay 1 ≤ f ( t ) ≤ 4 .
Đặt u = 2 ( x 2 - 1 ) . log ( x 2 + 1 ) ⇒ u ∈ 0 ; 4 . Khi đó phương trình * trở thành u 2 - 2 m . u + 2 m + 8 = 0 1 .
Nhận thấy u = 1 không phải là nghiệm của phương trình 1 . Với u ≠ 1 thì phương trình 1 tương đương với u 2 + 8 = 2 m ( u - 1 ) ⇔ 2 m = u 2 + 8 u - 1 2
Xét hàm số g u = u 2 + 8 u - 1 trên đoạn 0 ; 4 \ 1 .
Ta có g ' u = u 2 - 2 u - 8 u - 1 2 ; g ' ( u ) = 0 ⇔ [ u = - 2 u = 4 . Mà u ∈ 0 ; 4 \ 1 nên u = 4 .
Mặt khác, có g ( 0 ) = - 8 ; g ( 4 ) = 8 ; lim x → 1 - g ( u ) = - ∞ ; lim x → 1 + g ( u ) = = ∞ .
Bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình 2 có nghiệm duy nhất trên đoạn 0 ; 4 \ 1 .
Suy ra
Mặt khác m ∈ ℤ , m ∈ - 2017 ; 2017 nên suy ra
Vậy có tất cả 2017 - 4 + 1 + - 4 + 2017 + 1 = 4028 giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.