Question

Hãy chứng minh mệnh đề sau:

Với mọi số nguyên a, số \(a^2+1\) không có ước nguyên tố có dạng 4k+3

Answer 1

Gỉa sử a là số nguyên nào đó mà a^2+1 có ước nguyên tố p có dạng 4k+3

=> a^2+1 chia hết cho p => a^4k+2 +1 chia hết cho p     (1)

mặt khác theo định lý nhỏ của Fermat ta có a^p-1 -1 chia hết cho p hay a^ak+2 -1 chia hết cho p    (2) Từ (1),(2) => 2 chia hết cho p mà số nguyên tố chia hết cho 2 là 2=> p=2. Mâu thuẫn với giả thiết p có dạng 4k+3

=> với mọi số nguyên a thuộc Z không có ướ nguyên tố dạng 4k+3