Hai xe xuất phát đồng thời đi từ A tới B theo 1 đường thẳng (AB=L). Xe thứ nhất đi nửa quãng đường đầu với vận tốc v1 và nửa quãng đường sau với vận tốc v2. Xe thứ hai đi nửa thời gian đầu với vận tốc v1 và nửa thời gian sau với vận tốc v2. a. Tìm vận tốc trung bình của mỗi xe theo v1 và v2 b. Xe nào tới B trước và tới trước xe kia 1 khoảng thời gian là bao nhiêu? (tính theo L, v1, v2). c. Khoảng cách của 2 xe là bao nhiêu khi xe tới trước vừa tới B? (tính theo L, v1, v2). d. Biết xe tới trước đến B sớm hơn xe tới sau 1,5h và biết khoảng cách 2 xe lúc xe tới trước vừa tới B là 90km. L = 200km, vận tốc tối đa của các xe không vượt quá 120km/h. Hãy tính v1, v2?
(a) *Xét xe thứ nhất, thời gian đi nửa quãng đường đầu: \(t_{11}=\dfrac{\dfrac{L}{2}}{v_1}=\dfrac{L}{2v_1}\), thời gian đi nửa quãng đường còn lại: \(t_{12}=\dfrac{\dfrac{L}{2}}{v_2}=\dfrac{L}{2v_2}\).
Suy ra vận tốc trung bình: \(\overline{v_1}=\dfrac{L}{t_{11}+t_{12}}=\dfrac{L}{\dfrac{L}{2v_1}+\dfrac{L}{2v_2}}=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\).
*Xét xe thứ 2, quãng đường đi trong nửa thời gian đầu: \(s_{21}=\dfrac{v_1t_2}{2}\), quãng đường đi trong nửa thời gian còn lại: \(s_{22}=\dfrac{v_2t_2}{2}\).
Suy ra vận tốc trung bình: \(\overline{v_2}=\dfrac{s_{21}+s_{22}}{t_2}=\dfrac{\dfrac{v_1t_2}{2}+\dfrac{v_2t_2}{2}}{t_2}=\dfrac{v_1+v_2}{2}\).
(b) Thời gian xe thứ nhất đi: \(t_1=\dfrac{L}{\overline{v_1}}=\dfrac{L\left(v_1+v_2\right)}{2v_1v_2}\).
Thời gian xe thứ hai đi: \(t_2=\dfrac{L}{\overline{v_2}}=\dfrac{2L}{v_1+v_2}\).
Xét hiệu: \(\Delta t=t_1-t_2=L\left(\dfrac{v_1+v_2}{2v_1v_2}-\dfrac{2}{v_1+v_2}\right)\)
\(=\dfrac{L\left[\left(v_1+v_2\right)^2-4v_1v_2\right]}{v_1v_2\left(v_1+v_2\right)}=\dfrac{L\left(v_1-v_2\right)^2}{v_1v_2\left(v_1+v_2\right)}>0\).
Suy ra \(t_1>t_2\) nên xe thứ 2 đến B trước một khoảng \(\Delta t=\dfrac{L\left(v_1-v_2\right)^2}{v_1v_2\left(v_1+v_2\right)}\).
(c) Ta có: \(t_2-t_{11}=\dfrac{2L}{v_1+v_2}-\dfrac{L}{2v_1}=\dfrac{L\left(3v_1-v_2\right)}{2v_1\left(v_1+v_2\right)}\).
(*) Nếu \(3v_1\ge v_2\) thì sau khi xe thứ 2 đến B, xe thứ nhất đã đi được hơn nửa quãng đường, khoảng cách hai xe lúc xe 2 đến B là:
\(d=\dfrac{L}{2}-v_2\left(t_2-t_{11}\right)=\dfrac{L}{2}-\dfrac{Lv_2\left(3v_1-v_2\right)}{2v_1\left(v_1+v_2\right)}\)
\(\Rightarrow d=\dfrac{L\left(v_1-v_2\right)^2}{2v_1\left(v_1+v_2\right)}\).
(**) Nếu \(3v_1< v_2\) thì khi xe thứ 2 đến B, xe thứ nhất chưa đi được nửa quãng đường AB. Khoảng cách hai xe lúc xe 2 đến B là:
\(d=L-v_1t_2=L-\dfrac{2Lv_1}{v_1+v_2}=\dfrac{L\left(v_2-v_1\right)}{v_1+v_2}\).
(d) Theo đề thì \(\Delta t=\dfrac{L\left(v_1-v_2\right)^2}{v_1v_2\left(v_1+v_2\right)}\left(1\right)\).
Xét trường hợp (*), khoảng cách là \(d=\dfrac{L\left(v_1-v_2\right)^2}{2v_1\left(v_1+v_2\right)}\left(2\right)\).
Từ (1) và (2), có được: \(v_2=\dfrac{2d}{\Delta t}=\dfrac{2\cdot90}{1,5}=120\left(km/h\right)\), thay vào (1), có được: \(\left[{}\begin{matrix}v_1\approx41,88\left(km/h\right)\left(N\right)\\v_1\approx3438,11\left(km/h\right)\left(L\right)\end{matrix}\right.\).
Xét trường hợp (**), khoảng cách là \(d=\dfrac{L\left(v_2-v_1\right)}{v_1+v_2}\left(3\right)\).
Từ (1) và (3), suy ra: \(v_1=\dfrac{v_2d}{v_2\Delta t+1}\), thay vào (3), tìm được:
\(v_2=\dfrac{\dfrac{d\left(d+L\right)}{L-d}-1}{\Delta t}=\dfrac{\dfrac{90\left(90+200\right)}{200-90}-1}{1,5}\approx157,52\left(km/h\right)\left(L\right)\).
Vậy: \(\left\{{}\begin{matrix}v_1\approx41,88\left(km/h\right)\\v_2=120\left(km/h\right)\end{matrix}\right.\).