\(H=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)....\left(\frac{1}{2008}-1\right)\left(\frac{1}{2009}-1\right)\)
\(=\frac{-1}{2}.\frac{-2}{3}...........\frac{-2007}{2008}.\frac{-2008}{2009}\)
\(=>-H=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}...............\frac{2007}{2008}.\frac{2008}{2009}=\frac{1.2.....2007.2008}{2.3.....2008.2009}=\frac{1}{2009}=>H=-\frac{1}{2009}\)
\(H=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{4}-1\right)...\left(\frac{1}{2008}-1\right)\left(\frac{1}{2009}-1\right)\)
\(=\frac{-1}{2}.\frac{-2}{3}.\frac{-3}{4}...\frac{-2007}{2008}.\frac{-2008}{2009}\)
Dựa vão mẫu các số bị trừ; ta tích được tích trên bao gồm số các số âm là:
\(\frac{2009-2}{1}+1=2008\)(số)
Do đó tích các số đó là số dương ( vì là tích một số chẵn các số âm)
\(\Rightarrow H=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{2007}{2008}.\frac{2008}{2009}\)
Thấy: mẫu của phân số này xuất hiện ở tử của phân số tiếp theo nên ta sẽ chia chúng đi.
\(\Rightarrow H=\frac{1}{2009}\)