Question

Gọi I là tâm đường tròn tâm C (x-1)^2+(y-1)^2=4.Tổng giá trị của m để đường thẳng x+y-m=0 cắt đường tròn(C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho IAB có diện tích lớn nhất

Answer 1

\(I\left(1;1\right)\) , bán kính \(R=2\)

Do \(sin\widehat{AIB}\le1\Rightarrow S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}R^2=2\)

\(\Rightarrow S_{max}=2\) khi \(\widehat{AIB}=90^0\)

Gọi H là hình chiếu của I lên AB, áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông AIB:

\(\frac{1}{IH^2}=\frac{1}{IA^2}+\frac{1}{IB^2}=\frac{2}{R^2}\Rightarrow IH=\frac{R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\sqrt{2}=\frac{\left|1+1-m\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}\Rightarrow\left|2-m\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=4\end{matrix}\right.\)