Question

Gọi a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác . và

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)

CM : tam giác ABC đều

Answer 1

Áp dụng BĐT Cosi ; ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ b+c\ge2\sqrt{bc}\\ a+c\ge2\sqrt{ca}\\ \Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

=> Tam giác ABC đều

Answer 2

Vì a; b; c là độ dài 3 cạnh tam giác.

=> a > 0

b > 0

c > 0

Áp dụng BĐT Cô - si ta có:

Cho a và b ta được: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Cho b và c ta được: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

Cho c và a ta được: \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân theo vế ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi: <=> a = c = d

=> a; b; c là tam giác đều.