Câu 1:
a, Cmr \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
b, Cho đường thẳng y=(m-2)x+2 (d). Cmr đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m
Câu 2 : Gọi a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác biết : (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. Cmr tam giác đó là tam giác đều
Câu 1:
a/ Bình phương 2 vế:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2-2ad.bc+b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
b/ Giả sử d đi qua điểm cố định \(\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Rightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow mx_0-\left(2x_0+y_0-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2x_0+y_0-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\) Tam giác đã cho đều