Bài 2: (hình).
-Chứng minh\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
-Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 3 (hình):
-Chứng minh \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC};\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AB};\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}=1\).
Bài 6 (hình):
a. -Chứng minh \(\dfrac{EI}{BI}=\dfrac{EC}{BC}\)\(\Rightarrow\dfrac{BE}{BI}=\dfrac{EC+BC}{BC}\Rightarrow\dfrac{BI}{BE}=\dfrac{BC}{EC+BC}\)
-Chứng minh \(\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AB}\) \(\Rightarrow\dfrac{EC}{BC}=\dfrac{EA}{AB}=\dfrac{EC+EA}{BC+AB}=\dfrac{AC}{BC+AB}\)
\(\Rightarrow EC=\dfrac{AC.BC}{BC+AB}\)
\(\dfrac{BI}{BE}=\dfrac{BC}{EC+BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BI}{BE}=\dfrac{BC}{\dfrac{AC.BC}{BC+AB}+BC}=\dfrac{1}{\dfrac{AC}{BC+AB}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{AC+BC+AB}{BC+AB}}=\dfrac{BC+AB}{AC+BC+AB}\)
b. Chứng minh tương tự, ta có:
\(\dfrac{CI}{CF}=\dfrac{BC+AC}{AC+BC+AB}\)
\(\dfrac{BI}{BE}.\dfrac{CI}{CF}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB+BC}{AC+BC+AB}.\dfrac{BC+AC}{AC+BC+AB}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(AB+BC\right)\left(BC+AC\right)=\left(AB+AC+BC\right)^2\)
\(\Rightarrow2AB.BC+2AB.AC+2BC^2+2BC.AC=AB^2+AC^2+BC^2+2AB.AC+2AB.BC+2BC.AC\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\) nên tam giác ABC vuông tại A.
Bài 8 (hình):
* \(\widehat{BAC}=120^0\Rightarrow\widehat{EDF}=90^0\)
-Chứng minh \(AD=\dfrac{AB.AC}{AB+AC}\) bằng cách kẻ thêm BE//AD (E thuộc AC).
-Chứng minh DF là phân giác của tam giác ABD bằng cách chứng minh
\(\dfrac{BF}{ÀF}=\dfrac{BD}{AD}\)
-Tương tự chứng minh DE là phân giác của tam giác ACD.
-Suy ra góc EDF bằng 90 độ.