Question

giải pt nghiêm nguyên

x^2+y^2+3xy=x^2y^2 mình bt làm r nên mình đăng lên để xem có cách khác mình ko ạ

Answer 1

Cách 1:

PT $\Leftrightarrow x^2(1-y^2)+3xy+y^2=0$

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$. PT có nghiệm nguyên khi mà:$\Delta=(3y)^2-4y^2(1-y^2)$ là scp 

$\Leftrightarrow 4y^4+5y^2$ là scp 

$\Leftrightarrow y^2(4y^2+5)$ là scp 

$\Leftrightarrow 4y^2+5$ là scp.

Đặt $4y^2+5=a^2$ với $a$ là số tự nhiên. 

$\Rightarrow 5=a^2-4y^2=(a-2y)(a+2y)$

Đây là dạng PT tích cơ bản (đơn giản) 

 

Answer 2

Cách 2:

$x^2+y^2+3xy=(xy)^2$$\Leftrightarrow (x+y)^2+xy=(xy)^2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=(xy)^2-xy=xy(xy-1)$

Dễ thấy $xy, xy-1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của $xy(xy-1)$ là số chính phương nên bản thân mỗi số $|xy|, |xy-1|$ cũng là số chính phương

Đặt $|xy|=a^2; |xy-1|=b^2 với $a,b$ là số tự nhiên. 

$\Rightarrow xy=\pm a^2; xy-1=\pm b^2$

Đến đây thì đơn giản rồi, xét từng TH thôi.