\(ĐK:0\le x\le1681\)
- Đặt \(a=\sqrt[4]{41+\sqrt{x}}\left(\sqrt[4]{41}\le b\le\sqrt[4]{82}\right)\)
\(b=\sqrt[4]{41-\sqrt{x}}\left(0\le a\le\sqrt[4]{41}\right)\)
- Khi đó ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=2\\a^4+b^4=82\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a-2\\a^4+\left(a-2\right)^4=82\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^4+a^4-4a^3.2+6a^2.4-4a.8+16-82=0\)
\(\Leftrightarrow2a^4-8a^3+24a^2-32a-66=0\)
\(\Leftrightarrow a^4-4a^3+12a^2-16a-33=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a-3\right)\left(a^2-2a+11\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2-2a-3=0\\a^2-2a+11=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a+1\right)\left(a-3\right)=0\\\left(a-1\right)^2+10=0\left(PTVN\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\left(loại\right)\\a=3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{41+\sqrt{x}}=3\)
\(\Leftrightarrow41+\sqrt{x}=81\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=40\Leftrightarrow x=1600\left(nhận\right)\)
- Thử lại, ta có \(x=1600\) là nghiệm của phương trình.
- Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=1600\)
