\(x^y=y^x\)
\(\Rightarrow xy=yx\)
\(\Rightarrow xy:xy=xy:xy\)
\(\Rightarrow1=1\) (luôn đúng)
Nên phương trình luôn đúng với mọi \(x=y\)
⇒ \(x,y\in R\)
Anh ơi có thêm điều kiện gì không vậy ạ . Chẳng hạn như là : x;y thuộc \(Z^+\);........
Ô vậy nhưng mà nếu không có điều kiện gì thì lắm nghiệm lắm anh . Đầu tiên là chỉ cần x bằng y là đã có bao nhiêu nghiệm rồi ạ .
thế em giải theo : x;y khác nhau và x;y thuộc Z+ được không anh
Theo đánh giá của em, bài toán anh nên để ở lớp 12, và thực sự cần chặt chẽ điều kiện. Em nghĩ đề chọn đội tuyển ở anh cũng phải chặt chẽ hơn.
Với bài toán x^y=y^x với x,y>0 thì trên mạng đã đề cập rất nhiều với bài toán này; x,y khác nhau vẫn có nghiệm, và là 1 hàm được định nghĩa mới, chứ không phải xác định được dễ dàng.
Equation xy = yx - Wikipedia
\(x^y=y^x\)
Đặt \(y=ux\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(x^{ux}=\left(ux\right)^x\)
\(\Leftrightarrow\left(x^u\right)^x=\left(ux\right)^x\)
\(\Leftrightarrow\left(\left(x^u\right)^x\right)^{\dfrac{1}{x}}=\left(\left(ux\right)^x\right)^{\dfrac{1}{x}}\)
\(\Leftrightarrow x^u=ux\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^u}{x}=\dfrac{ux}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^{u-1}=u\)
\(\Leftrightarrow\left(x^{u-1}\right)^{\dfrac{1}{u-1}}=u^{\dfrac{1}{u-1}}\) \(\left(u\ne1\right)\)
\(\Leftrightarrow x=u^{\dfrac{1}{u-1}}\)
\(\Rightarrow y=ux=u\cdot u^{\dfrac{1}{u-1}}\)
\(\Leftrightarrow y=u^{1+\dfrac{1}{u-1}}=u^{\dfrac{u-1}{u-1}+\dfrac{1}{u-1}}\)
\(\Leftrightarrow y=u^{\dfrac{u}{u-1}}\)
Vậy \(x=u^{\dfrac{1}{u-1}}\)và \(y=u^{\dfrac{u}{u-1}}\) với \(u\ne1\)
Mình thấy đã 5 ngày rồi, QA công bố đáp án luôn nhé!