Question

Giải phương trình nghiệm nguyên \(5x^4+y^2-4x^2y-85=0\)

Answer 1

Đặt \(x^2=a\ge0\)

\(PT\Leftrightarrow5a^2+y^2-4ay-85=0\)

        \(\Leftrightarrow y^2-4ay+5a^2-85=0\)

PT có nghiệm <=> \(\Delta'\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow4a^2-\left(5a^2-85\right)\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow-a^2+85\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow0\le a^2\le85\)

                     \(\Leftrightarrow0\le x^4\le85\)

                     \(\Leftrightarrow0\le x\le\sqrt[4]{85}\)

                \(\Rightarrow x\in\left\{0;1;2;3\right\}\)

\(x=0\Rightarrow y=\sqrt{85}\left(loại\right)\)\(x=1\Rightarrow y=2+2\sqrt{21}hoặcy=2-2\sqrt{21}\left(loại\right)\) 

     3.  \(x=2\Rightarrow y=8-\sqrt{69}hoặcy=8+\sqrt{69}\left(loại\right)\)​  

     4.  \(x=3\Rightarrow y=16hoặcy=20\left(tm\right)\)

Vậy (x;y):(3;16),(3;20)