a/
Nhận thấy ngay phương trình có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x=2019\\x=2018\end{matrix}\right.\)
- Với \(x>2019\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2018>1\\x-2019>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left|x-2018\right|^{2019}+\left|x-2019\right|^{2018}>1\Rightarrow\) pt vô nghiệm
- Với \(x< 2018\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2018< 0\\x-2019< -1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2018\right|>0\\\left|x-2019\right|>1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left|x-2018\right|^{2019}+\left|x-2019\right|^{2018}>1\Rightarrow\) pt vô nghiệm
- Với \(2018< x< 2019\) viết lại pt:
\(\left|x-2018\right|^{2019}+\left|2019-x\right|^{2018}=1\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}0< x-2018< 1\\0< 2019-x< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2018\right|^{2019}< x-2018\\\left|2019-x\right|^{2018}< 2019-x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left|x-2018\right|^{2019}+\left|2019-x\right|^{2018}< x-2018+2019-x=1\)
\(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
Vậy pt có đúng 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=2018\\x=2019\end{matrix}\right.\)
b/
Thay \(x=0\) vào pt thấy không phải là nghiệm, chia cả tử và mẫu của các hạng tử vế trái cho x:
\(\frac{2}{x+\frac{1}{x}-1}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}=\frac{5}{3}\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a\) phương trình trở thành:
\(\frac{2}{a-1}-\frac{1}{a+1}=\frac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+1\right)-\left(a-1\right)=\frac{5}{3}\left(a^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow5a^2-3a-14=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\\a=-\frac{7}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{1}{x}=2\\x+\frac{1}{x}=-\frac{7}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x+1=0\\5x^2+7x+5=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\)